Binary option approximation

Wycena opcji za pomocą metody różnic skończonych - Matlab W trakcie kursu Quantitative amp Computational Finance w dziale matematyki w UCL. Poproszono nas o wycenę 4 typów opcji, opcji kupna w Europie, opcji sprzedaży europejskiej oraz opcji binarnych przy użyciu metody różnic skończonych. Ten post opisuje równanie Blacka-Scholesa i jego warunki brzegowe, metodę różnic skończonych i wreszcie kod oraz kolejność dokładności. Do kodu matlab w tym poście użyłem pędzla java, dlatego komentarze będą musiały zostać zmienione z na. Wiem, że zapytałbyś, dlaczego w ogóle nie używałem pędzla Matlab, dobrze używam syntaxHighlighter i patrzę na ten komentarz. Uwaga autora: długa lista funkcji (1300) może sprawić, że przeglądarka przestanie reagować, gdy użyjesz tego szczotka. zniechęcić mnie. I Równanie Black-Scholesa Gdzie Smbox, sigmaVolatility, rmbox, Vmbox Jest to równanie różniczkowe cząstkowe o równaniu parabolicznym. Pod względem Greków. równanie Blacka-Scholesa można zapisać następująco: Theta - frac sigma2 S2 Gamma - r S Delta r V Końcowy wzmacniacz Końce graniczne Ostateczny warunek to warunki graniczne w S0 i Sinfty European Call Opcja Black-Scholes zamknięty od rozwiązania Formularz zamknięty rozwiązaniem dla równania Blacka-Scholesa dla opcji wywołania europejskiego jest C (S, T) Oddział N (d1) - Równania e quad N (d2) i N jest funkcją dystrybuanty skumulowanej standardowej normy. Używając równania parzystości Call-Put CALL-PUT S - e N (-d2) możemy również obrócić formułę put P (S, T) - Squad N (-d1) Equad e quad N (-d2) Dla opcji typu binarnego , zwane także gotówką lub nic wartościami Call i Put: II Metoda różnic skończonych Metoda różnic skończonych jest numeryczną metodą przybliżania rozwiązań równań różniczkowych z wykorzystaniem skończonego równania różnicowego do przybliżonej pochodnej. Siatka o skończonej różnicy zwykle ma równy czas, czas między węzłami jest równy stopniom S. Krok czasowy to delta t, a krok aktywów to delta S. Tak więc siatka składa się z punktów w wartości aktywów Sidelta S i razy t T-k delta t, gdzie 0leq ileq l i 0leq kleq K. I delta S jest naszym przybliżeniem nieskończoności, w tym ćwiczeniu użyjemy Sinfty 2 cdot Strike W ten sposób możemy zapisać wartość opcji w każdym z tych punktów siatki jako VV (idelta S, T-kdelta t) Tak więc indeks górny jest czasem zmienna i indeks dolny to zmienna aktywów. Teraz użyjemy notacji Greków i Scholesów do przybliżenia theta, gamma i delta Approximating Theta Z tego wynika, że ​​możemy przybliżać pochodną czasu z naszej siatki wartości przy użyciu wstecznej różnicy czasu: frac (S, t) approx frac - VO (delta t) Jest to przybliżenie opcji theta. Używa wartości opcji w dwóch punktach siatki V (k, i) i V (k1, i). To przybliżenie jest dokładnym porządkiem w trójkącie i zobaczymy to później w przykładach. Zbliżająca się Delta Ten sam pomysł może być użyty do przybliżenia pierwszego rzędu w pochodnej S, delta. Z rozszerzenia serii Taylora o wartość opcji o punkcie Sdelta S, t mamy V (Sdelta S, t) V (S, t) delta S frac (S, t) frac delta S2 frac (S, t) O ( delta S3) Podobnie, V (S-delta S, t) V (S, t) - delta S frac (S, t) frac delta S2 frak (S, t) - O (delta S3) Odejmując od innych, dzieląc przez 2delta S i rearanżacja daje frac (S, t) frac - VO (delta S2) Approximating Gamma Gama opcji jest drugą pochodną opcji w odniesieniu do leżącego poniżej, Naturalną aproksymacją jest frac approx frac -2V VO ( delta S2) To przybliżenie jest również dokładnością drugiego rzędu w delcie S jako przybliżeniem Delta i pokaże to również później. Jawna metoda Finite-Diffrence Obliczanie Greków za pomocą wstecznej różnicy Teraz podłączamy naszą poprzednią aproksymację Greków do równania Blacka-Scholesa frac - V frac sigma2 (i2delta S2) frac -2V V r idelta S frac - V - r V 0 Przestawianie V alfa V beta V gamma V z alfa frac sigma2 i2 delta t - frac ir delta t beta 1 - sigma2 i2 delta t - r delta t gamma frac sigma2 i2 delta t frac ir delta t Równanie różnicy skończonej obowiązuje wszędzie wewnątrz siatka, która nie jest ważna na granicach. Dlatego musimy zdefiniować granice w zależności od rodzaju opcji, którą wyceniamy. Ostateczny wzmacniacz Warunki brzegowe Dla połączenia z Europą w t T (wygaśnięcie) i I Wypłata V (S, t) maks. (SE, 0) Tak więc V max (i delta SE, 0) gdzie 0leq i leq l Prawdopodobieństwo upadku S pod E staje się nieistotny, również małe zmiany S nie wpływają na cenę opcji, a następnie Gammafrac 0 (dla opcji wywołania europejskiego) Gammaapproxfrac -2V V 0 Jest to górny warunek brzegowy V (alpha-gamma) V (beta 2gamma) V) Na koniec dla kryteriów stabilności wybierzemy delta t leq frac. III Kod i wyniki Oto matlabowa implementacja metody różnic skończonych. Użyliśmy tych samych ustalonych parametrów, tj. Zmienności 0,2, stopy procentowej 0,05, ceny wykonania 100, bieżąca cena to zdyskontowana wartość ceny wykonania S100 e. Dla każdego rodzaju opcji zmieniamy przedział czasowy i cenę aktywu, aby pokazać, że metoda jest pierwsza i druga dokładna w delta t i delta S z kolei. Definiujemy również alfa, beta i gamma zewnętrznie dla jasności. Kod funkcji alfa Kod funkcji beta Kod funkcji Gamma Usunęliśmy również wyniki dla rozwiązania zamkniętej formy dla opcji Call i put w Europie i podobnie dla opcji binarnych. Opcja zamkniętego formularza dla opcji wywołania europejskiego Opcja zamkniętego formularza dla opcji europejskiego Put Rozwiązanie zamknięte dla opcji europejskiego wywołania ("gotówka" lub "nic") Rozwiązanie z zamkniętą formą dla europejskiej opcji kupna ("gotówka" lub "nic") Tutaj definiujemy wartość opcji funkcja europejskiego wywołania i opcji put z odpowiednim warunkiem wypłaty max (SE, 0) i mad (ES, 0). zauważamy, że kod jest podobny tylko funkcja wypłaty może być odwrócona w zależności od typu opcji, np. połączenia lub put. Wartość opcji Funkcja Funkcja wartości binarnej Na poniższym rysunku wyprowadzamy wartości opcji wywołania za pomocą metody jawnej różnicy skończonej. W dalszej części pokażemy, że metody różnic skończonych są pierwszymi rzędami i dokładnością drugiego rzędu w delta t i delta S z kolei poprzez wykreślenie błędu względem delta t i delta S2 na obydwu polach, w których spodziewamy się wykresu liniowego. Wartości opcji wywołania europejskiego Błąd Vs. delta t Wartości opcji wywołania europejskiego Błąd Vs. delta S2 Europejskie wartości opcji Put Błąd Vs. delta t Błąd wprowadzenia wartości wariantu europejskiego vs. delta S2 Wykreślanie błędu w procentach względem delta t i delta S2 dla europejskiego wywołania i opcji put dla funkcji wypłaty ciągłej i binarnej, wyraźnie widzimy, że błąd jest liniowy w delta t i delta S2. Im mniejsze są kroki w delta t i delta S2, dokładna jest metoda skończonej różnicy, ale jest to związane z kosztownym czasem obliczeń. Paul Wilmott wprowadza Quantitative Finance, drugie wydanie, Paul P. Wilmott. Formułę Blacka-Scholesa należy zdefiniować jako funkcję f (S, X, T, r, v). Interesują mnie funkcje, które są prostsze obliczeniowo niż Black-Scholes, które dają wyniki zbliżone do f dla danego zestawu wejść S, X, T, r, v. Rozumiem, że obliczeniowo prostsze nie jest dobrze zdefiniowane. Ale mam na myśli prostsze pod względem liczby terminów używanych w funkcji. A może nawet bardziej szczegółowo, liczba odrębnych kroków obliczeniowych, które należy wykonać, aby uzyskać dane wyjściowe dla Blacka-Scholesa. Oczywistym jest, że Black-Scholes jest obliczeniowo prosty, ale jestem gotowy, aby wymienić dokładność na jeszcze prostszą funkcję, która dawałaby wyniki zbliżone do Bamps. Czy istnieje taka prostsza aproksymacja? Pytanie 10 maja o 15:44 To jest tylko rozszerzenie o odpowiedź vonjdsa. Przybliżona formuła wspomniana przez vonjda pochodzi od Brennera i Subrahmanyama (proste rozwiązanie do obliczania domniemanego odchylenia standardowego, Financial Analysts Journal (1988), s. 80-83). Nie mam darmowego linku do gazety, więc pozwól mi podać tutaj krótką i brudną derywację. W przypadku opcji call at-the-money mamy SKe. Włączając to do standardowej formuły Blacka-Scholesa C (S, t) N (d1) SN (d2) Ke, otrzymujemy, że prawa C (S, t) leftNleft (frac sigmasqrt right) - Nleft (-frac sigmasqrt right). qquadqquad (1) Teraz, formuła Taylorsa oznacza dla małego x, że N (x) N (0) N (0) xN (0) frac O (x3).qquadqquadqquqqqquad (2) Łącząc (1) i (2), będziemy uzyskać z oczywistymi anulacjami, że C (S, t) Sleft (N (0) sigmasqrt O (sigma3sqrt) z prawej). Ale N (0) frac 0.39894228. więc w końcu dla małego sigmasqrt mamy C (S, t) ok 0.4Ssigmasqrt. Zmodyfikowana formuła C (S, t) approx 0.4Se sigmasqrt daje nieco lepsze przybliżenie. Odpowiedź 11 maja 19:37 Formuła normalnego volta Czarnego-Scholesa prowadzi szybko do zbliżenia zbliżonego do opisanego przez Olakera. Kliknij tutaj, aby zapoznać się z dokumentem, który zawiera formalne wyprowadzenie wezwania i ustala ceny w oparciu o normalny model (np. Ruch w stylu browna zamiast geometrycznego ruchu w stylu Browna). Formuła ceny wywoławczej to: BTW, pracuję w stałym dochodzie, więc zawsze staram się napisać wersję, która jest odpowiednia do swapcji. Opcje, które są ATM Możesz zobaczyć, że dla FK to staje się tekstem frac ok 0.4, sigma, sqrt. Opcje, które nie są bankomatami Ostatnio odkryłem uogólnienie tej formuły, która sprawdza się bardzo dobrze w przypadku strajków, których również nie ma w kasie. Zobacz mój blog na dłuższą dyskusję, tutaj są główne punkty. Standardowa dekompozycja dla opcji jest następująca: w normalnej formule Blacka-Scholesa powyżej, jeśli zbadasz termin (FK) N (d1) w arkuszu kalkulacyjnym, zobaczysz to dla małych poziomów zmienności i dojrzałości (spróbuj na przykład sigma0 .0025, Maturity1) faktycznie jest całkiem blisko max (0, FK), który jest wewnętrzną wartością połączenia. W związku z tym normalna formuła BS jest prawie równa: Jeśli porównasz to przybliżenie z prawdziwą formułą BS w arkuszu kalkulacyjnym, zobaczysz, że wokół strajku (zwłaszcza dla większych wartości sigma) nadaje on zbyt wiele wartości: w zasadzie Terminy tekstowe e12 są zbyt duże, gdy d1 jest niezerowe i małe. Mówi nam to, że różnica między (F-K) N (d1) i maksimum (0, F-K) staje się ważna w pobliżu strajku. Jak już mówiłem, spójrz w arkusz kalkulacyjny. Niemniej jednak ta prosta, ale zła formuła ceny wywoławczej wskazuje nam właściwy kierunek: pokazuje, że wartość czasowa opcji powinna być zapisana w postaci ceny opcji bankomatu. Oto moje rozwiązanie. Nazywam to Hardy Decomposition: Do tej pory jest to tylko przegrupowanie oryginalnej formuły Black-Scholes normal-vol. Kluczowym rezultatem jest to, że tekst jest dobrze zbliżony do prostego wyrażenia: Tak więc możesz użyć poniższego jako dość dobrego przybliżenia cen połączeń: podobny wynik dotyczy opcji sprzedaży. Możesz użyć tej Hardy Decomposition, aby obliczyć ceny opcji w głowie - musisz tylko pamiętać o kilku wartościach: Jak powiedzieli inni, musisz zsumować wartość skumulowaną. Problem polega na tym, że gdziekolwiek spojrzysz, okaże się, że aby to przybliżyć, będziesz musiał użyć funkcji wykładniczych lub trygonometrycznych, które również są bardzo drogie. Jedyne, co możesz zrobić, to zbudować sobie sześcienny splajn z wstępnie buforowanymi wartościami dla skumulowanych i obliczyć wartość w innych punktach x za pomocą (sześciennych) interpolacji. To znacznie przyspieszy. Możliwe, że wywołasz tę metodę za pomocą szeregu uporządkowanych wartości, dzięki czemu unikniesz przeszukiwania binarnego, aby zlokalizować interwał. Będziesz mieć buforowany indeks dla ostatniego przedziału i rozejrzeć się po tym. odpowiedział 10 kwietnia o 13:26 Twoja odpowiedź 2017 Stos Exchange, opcja IncBinary Opcje binarne, znane również jako opcje cyfrowe lub po prostu Binaries lub Digitals, są jednym z prymitywnych typów opcji. Połączenia cyfrowe są czasami nazywane Digicalls, a cyfrowe - Digiputami. Mają profile wypłat, które są takie same, jak funkcja Heaviside, rozpoczynają tekst o amp. 1 amp text quad S gt K. 0 tekst quadowy tekst 1 amp tekst quad S lt K. 0 quad text end Wszelkie skalowanie finansowe odbywa się zwykle za pomocą wartości nominalnej transakcji. Na przykład 1 milion nominału digicall jest odpowiednikiem zakupu 1 miliona 1 digicalls. Typowi inwestorzy Inwestorzy na przykład w połączeniach binarnych spodziewają się niewielkiego wzrostu ceny bazowej, ale ponieważ wypłata nigdy nie może przekroczyć 1, cena instrumentu pochodnego jest znacznie niższa niż standardowe wezwanie ustawione w tym samym czasie. Podobnie inwestor binarny będzie oczekiwał niewielkiego spadku ceny instrumentu bazowego. Zazwyczaj cyfry są używane w połączeniu z bardziej egzotycznymi instrumentami pochodnymi, aby wskazać przepływ gotówki uwarunkowany pewnym poziomem cen. Aproksymacja Można przybliżać digicall za pomocą spreadu połączeń, długiego jednego połączenia tuż poniżej strajku i krótkiego jednego połączenia tuż nad strajkiem. W ograniczeniu, ponieważ odległość powyżej i poniżej uderzenia dąży do zera, przybliżenie staje się dokładne. Parytet PutCall Parytet putcall dla plików binarnych jest szczególnie prosty. Jeśli posiadasz digicall i digiput, otrzymujesz 1 niezależnie od poziomu instrumentu bazowego, więc następująca relacja parzystości zawiera tekst tekstowy e Referencje Paul Wilmott o Quantitative Finance, vol. 1, pub. 2006, John Wiley and Sons.